有效年利率（effective annual rate，简称ear）是指一年内实际获得的回报利率。在金融领域，利率的计算方式有多种，因此了解有效年利率的计算公式及推导过程至关重要。本文将详细介绍有效年利率的公式推导，并通过实例进行解释。
一、单利与复利
首先，我们来了解一下单利和复利的概念。单利是指仅对本金计算利息，不对产生的利息再次计算利息。而复利则是不仅对本金计算利息，还对本金产生的利息进行计算。
举例来说，假设银行的年利率为10%，存款1000元。若按月计算利息，12个月中每月得到的利息回报相同。
1. 单利计算：
一年后的本利和为：1000 * (1 10% / 12) ^ 12 = 1100元
2. 复利计算：
**个月后的本金利息和为：1000 * (1 10% / 12)
第二个月的利息，使用上一个月的本利和计算：1000 * (1 10% / 12) ^ 2
以此类推，一年后的本利和为：1000 * (1 10% / 12) ^ 12 = 1104.88元
从上述例子中可以看出，复利计算方式下的本利和高于单利计算方式。因此，在实际投资中，选择复利计算方式更有利于财富增长。
二、有效年利率公式推导
假设银行给的存款年利率为r，一年内有n次计息。我们可以通过以下步骤推导有效年利率公式：
1. 设本金为p，每次计息后的本金分别为p1、p2、…、pn。
2. 计算每次计息后的本利和：s1 = p1 * (1 r / n)，s2 = p2 * (1 r / n)，…，sn = pn * (1 r / n)。
3. 计算一年后的总本利和：s_total = s1 s2 … sn。
4. 计算一年期的单利本利和：s_simple = p * (1 r * n)。
5. 有效年利率（ear）= （s_total – s_simple）/ p。
三、实例解析
假设银行的年利率为10%，存款1000元，按季度计息。我们可以通过以下步骤计算有效年利率：
1. 计算每次计息后的本利和：
**个季度：s1 = 1000 * (1 10% / 4) = 1025元
第二个季度：s2 = 1025 * (1 10% / 4) = 1056.25元
第三个季度：s3 = 1056.25 * (1 10% / 4) = 1090.81元
第四个季度：s4 = 1090.81 * (1 10% / 4) = 1123.91元
2. 计算一年后的总本利和：s_total = 1123.91元
3. 计算一年期的单利本利和：s_simple = 1000 * (1 10% * 4) = 1100元
4. 有效年利率（ear）= （s_total – s_simple）/ p = （1123.91 – 1100）/ 1000 = 2.325%
因此，按季度计息的有效年利率为2.325%。在实际投资中，了解有效年利率有助于更好地评估投资回报。
